Mükemmel Sayılar

Mükemmel Sayı: Kendisi hariç bütün pozitif çarpanlarının (bölenlerinin) )toplamı kendisine eşit olan sayılara mükemmel sayı denir.
Örneğin; 6 bir mükemmel sayıdır. Çünkü 6’nın pozitif çarpanları 1,2,3 ve 6’dır. Kendisi hariç diğer çarpanlarını toplarsak 1+2+3=6 eder.

Aynı şekilde 28 de mükemmel sayıdır.

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
 
Mükemmel Sayılar Üzerine Bir Algoritma: İlk Nikomakus tarafından bahsedilen ancak Öklid tarafından ispatlanan algoritma bazı çift mükemmel sayıları bulmamıza yardımcı olmaktadır.
 
Bu algoritma şu şekildedir: 2’nin bir asal kuvvetinin 1 eksiği asal ise (bunlara Mersenne Asalları diyoruz) bu sayı ile 2’nin bir önceki kuvvetinin çarpımı mükemmel sayıdır.
Mükemmel sayı bulma formülü = 2p-1(2p−1)
Burada p ve (2p-1) sayıları asal sayı olmalıdır.

p = 2 için 21.(22-1) = 2.3 = 6
p = 3 için 22.(23-1) = 4.7 = 28
p = 5 için 24.(25-1) = 1 = 16.31 = 496
p = 7 için 26.(27-1) = 64.127 = 8182

Mükemmel sayı bulmanın için genel bir formülü yoktur ancak yukarıda verilen formülle elde edilen sayılar birer mükemmel sayıdır. Bu formül ile elde edilen sayıların tamamı çifttir. Bu formülle bulunan mükemmel sayılar dışında başka mükemmel sayıların var olup olmadığı henüz bilinmiyor. Ayrıca şu ana kadar bulunan tüm mükemmel sayılar çift olup tek mükemmel sayıların varlığı kanıtlanmamıştır.

Mükemmel Sayılarla İlgili Bir Özellik:  Mükemmel sayıların pozitif bölenlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 2’dir. Örnek olarak 6’yı ele alırsak. 6’nın pozitif bölenleri 1,2,3 ve 6 dır.
1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2



Bazı mükemmel Sayılar:
*6,
*28,
*496,
*8128,
*33550336,
*8589869056,
*137438691328,
*2305843008139952128,
*2658455991569831744654692615953842176,
*191561942608236107294793378084303638130997321548169216,
*13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128,
*14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128,
*2356272345726734706578954899670990498847754785839260071014302759750633728317862 223973036553960260056136025556646250327017505289257804321554338249842877715242701 039449691866402864453412803383143979023683862403317143592235664321970310172071316 3527487298747400647801939587165936401087419375649057918549 492160555646976,
*141053783706712069063207958086063189881486743514715667838838675999954867742652380 1141041933290376902515619505687098293271640877243663700871167312681593136524874506 5243980587729620729744672329516665822884692680778665287018892086787945147836456931 3922060370695064736073572378695176473055266826253284886383715072974324463835300053 138429460296575143368065570759537328128,
*5416252628436584741265446537439131614085649053903169578460392081838720699415853485 91989999210567199219190573900802636461592800138276054397462627889030573034455058270 283951394752077690449244314948617294351131262808379049304627406817179604658673487209 925721905694655452996299198234310310926242444635477896354414813917198164416055867880 921478866773213987566616247145517269643022175542817842548173196119516598555535739377 889234051462223245067159791937573728208608782143220522275845375528974762561793951766 244263144803134469350852036575847982475360211728804037830486028736212593137899949003 366739415037472249669840282408060421086900776703952592318946662736152127756035357647 07952250173858305171028603021234896647851363949928904973292145107505979911456221519
899345764984291328,